Koerzitive Funktion

In der Mathematik wird eine reellwertige Funktion als koerzitiv (oder koerziv) bezeichnet, falls die Funktionswerte gegen positiv unendlich streben, wenn die Norm der Eingabewerte gegen unendlich strebt.

Definition

Sei ${\displaystyle \left(X,\|\cdot \|\right)}$ ein normierter Raum und ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$ eine reellwertige Funktion auf ${\displaystyle X}$. Die Funktion ${\displaystyle f}$ heißt koerzitiv, falls für alle Folgen ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\subset X}$ mit ${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left\|x_{n}\right\|= \infty }$ gilt:

${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})= \infty }$.

Motivation

Im Allgemeinen nehmen stetige Funktionen auf nicht-kompakten Mengen kein Minimum oder Maximum an, z. B. realisiert ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\quad x\mapsto x^{3}}$ das Maximum und das Minimum nicht. Diese Funktion ist nach unten und nach oben unbeschränkt und nicht koerzitiv. ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\quad x\mapsto x^{2}}$ ist hingegen koerzitiv und nimmt das Minimum (${\displaystyle 0=g(0)}$) an.

Folgender Satz macht klar, unter welchen Bedingungen eine koerzitive Funktion ihr Minimum tatsächlich annimmt:

Sei ${\displaystyle X}$ ein reflexiver Banachraum und ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$ erfülle wenigstens eine der folgenden Bedingungen:

• ${\displaystyle f}$ ist schwach halbstetig von unten und koerzitiv
• ${\displaystyle f}$ ist stetig, konvex und koerzitiv

Dann nimmt ${\displaystyle f}$ das Minimum an.

Erweiterung auf Sesquilinearformen

Eine komplexwertige Sesquilinearform ${\displaystyle B\colon X\times X\rightarrow \mathbb {C} }$ wird als koerzitiv bezeichnet, falls die Funktion ${\displaystyle x\mapsto B(x,x)}$ reellwertig und koerzitiv ist. Diese Eigenschaft findet z. B. im Lemma von Lax-Milgram Anwendung.

Der Begriff darf nicht mit der Koerzitivfeldstärke verwechselt werden.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7